segunda-feira, 30 de novembro de 2009

função do primeiro e segundo grau

Função do 1° e 2° grau


Vamos primeiro analisar o título da matéria. Por que funções? Por que do segundo grau?

Bem, funções porque obedecem todas as "leis" de uma função. E é do segundo grau pois o maior expoente da variável (no caso "x") é 2.

Toda lei de associação de uma função do segundo grau pode ser escrita da seguinte forma:

y=ax+bx+c.gif (1331 bytes)

Onde temos três coeficientes (cada um com sua importância), "a" que sempre fica junto com o termo x2, "b" que sempre fica junto do termo x, e "c" que sempre fica sozinho.

É muito importante saber distingüir cada um dos coeficientes, pois é com eles que é feito qualquer tipo de cálculo em uma função do segundo grau!

Assim como a função do primeiro grau tem sua representação gráfica uma reta, a função de segundo grau tem como representação gráfica uma "parábola" - Opa, o que é isso? - É só olhar para baixo:

parabola.gif (2182 bytes)

Parábola é esta figura geométrica. Sua posição no plano irá depender dos coeficientes "a", "b", e "c".

A primeira coisa que iremos aprender sobre estas funções é como calcular suas raízes.

Clique na seta abaixo para avançar.

Funções, Constante, 1º e 2 Grau

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Matemática Por Paulo Marques Assinar feed do autor
math@paulomarques.com.br

Tipos particulares de funções

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3

Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

Veja o gráfico a seguir:

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exercício resolvido:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = -
D /4a , onde D = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)

Exercícios Resolvidos

1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
*e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2

SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A .

Agora resolva estes similares:

1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:
a) 16
b) 8
*c) 4
d) -4
e) -16

2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:
a) 16
b) 8
c) 4
d) -4
*e) -16


Parábola: formas geométricas no cotidiano


Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau,
ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

∆ <>, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola


Veja mais!

Sinais da função de 2º grau
Concavidade voltada para cima e para baixo.

Gráfico da função de 2º grau
Representação de uma função do 2º grau no plano cartesiano.

Raízes de uma função de 2º grau
Soma e Produto de raízes

Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola

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